Найдите наибольшее значение функции у=х (в кубе) - 6 х (вквадрате) + 9 х-2 на отрезке [2, 4]

Решение задачи.

1. Найдем производную функции у (х).

у' (х) = 3 х^2 - 12x + 9.

2. Найдем точки экстремума функции у (х).

у' (х) = 0;

3 х^2 - 12x + 9 = 0;

х^2 - 4x + 3 = 0;

D = 16 - 12 = 4;

Уравнение имеет 2 корня х = 1 и х = 3.

Функция имеет 2 точки экстремума х = 1 и х = 3.

Отрезку [2; 4] принадлежит 1 точка х = 3.

3. Определим, является точка х = 3 точкой минимума или максимума.

y'' (x) = 6x - 12;

y'' (3) = 18 - 12 = 6 > 0/

Точка х = 3 - точка минимума функции у (х).

4. Для нахождения наибольшего значения функции вычислим значения функции на концах отрезка.

у (2) = 2^3 - 6 * 2^2 + 9 * 2 - 2 = 8 - 24 + 18 - 2 = 0.

y (4) = 4^3 - 6 * 4^2 + 9 * 4 - 2 = 64 - 96 + 36 - 2 = 2.

y (4) > y (2).

Ответ. Наибольшее значение функции у = х^3 - 6 х^2 + 9 х - 2 на отрезке [2; 4] равно 2.