Сумма семи различных натуральных слагаемых равна 40. Докажите, что у каких-нибудь из этих слагаемых есть общий делитель больший 1

Допустим, что ни одно из данных слагаемых не имеют общих делителей, т е. это - простые числа, которые имеют только 2 делителя: 1 и себя.

Возьмем 7 наименьших простых чисел:

1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 42.

42 > 40.

Значит, хотя бы 1 слагаемое здесь - составное, т. е. имеет несколько делителей.

Известно, что любое составное число имеет хотя бы 1 общий делитель с каким-либо простым числом (кроме 1).

Например, для 4 и 2 - делитель 2; для 12 и 3 - делитель 3 и т. д.