7*4^x-9*14^x+2*49^x=0

Представим основания степеней числами 2 или 7:

7 * 4^x - 9 * 14^x + 2 * 49^x = 0.

7 * (2²) ^x - 9 * (2 * 7) ^x + 2 * (7²) ^x = 0.

7 * (2^х) ² - 9 * 2^х * 7^x + 2 * (7^х) ² = 0.

Поделим уравнение на (7^х) ²:

7 * (2^х) ² / (7^х) ² - 9 * 2^х * 7^x / (7^х) ² + 2 * (7^х) ² / (7^х) ² = 0.

7 * ((2/7) ^х) ² - 9 * (2/7) ^х + 2 = 0.

Произведем замену, пусть (2/7) ^х = а:

7 а² - 9 а + 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D = (-9) ² - 4 * 7 * 2 = 81 - 56 = 25 (√D = 5);

а₁ = (9 - 5) / (2 * 7) = 4/14 = 2/7.

а₂ = (9 + 5) / 14 = 14/14 = 1.

Возвращаемся к замене (2/7) ^х = а:

а = 2/7; (2/7) ^х = 2/7; (2/7) ^х = (2/7) ¹; х = 1.

а = 1; (2/7) ^х = 1; (2/7) ^х = (2/7) ⁰; х = 0.

Ответ: корни уравнения равны 0 и 1.