206 и 542 разделили на одно и то же трехзначное число так, что остатки получились одинаковыми. Что это за число?

Очевидно, что при делении 206 на трёхзначное число частное будет равно 1 или 2.

При частном, равном 2, делитель может быть равен 100, 101 или 102 (206 на 103 делится без остатка). Но при делении 542 на 100, 101 или 102 остаток не будет равен остатку от деления 206 на эти числа.

Следовательно, частное равно 1, а делитель будет равен 206 - х, где х - остаток от деления.

Допустим, что при делении 542 на тот же делитель, частное будет равно к:

(542 - х) / к = 206 - х,

Наименьшее трехзначное число равно 100, значит частное от деления 542 на трехзначный делитель должно быть меньше 6 и больше 1, так как при делении на 1 остаток не будет равен остатку от деления 206 на тоже число.

Допустим, что к = 2, получаем:

542 - х = 2 * (206 - х),

542 - 412 = - х, но х не может быть отрицательным, значит к = 2 не подходит.

пусть к = 3, получаем:

542 - х = 3 * 206 - 3 * х,

-76 = - 2 * х,

х = 38.

206 - 38 = 168. (542 - 38) : 168 = 3, значит число 168 может быть искомым делителем.

Пусть к = 4, получаем:

542 - х = 4 * 206 - 4 * х,

282 = 3 * х,

х = 94.

206 - 94 = 112. (542 - 94) : 112 = 4, значит число 112 может быть искомым делителем.

Пусть к = 5,

542 - х = 206 * 5 - 5 * х,

488 = 4 * х,

х = 122.

206 - 122 = 84 - двузначное число, а делитель должен быть трёхзначным.

Ответ: 112 и 168.