Решить уравнение: 9^x+6^x-4^ (x+0.5) = 0

9^x + 6^x - 4^ (x + 0,5) = 0.

Преобразуем выражение, расписав степени:

(3^2) ^x + (2 * 3) ^x - 4^x * 4^ (1/2) = 0;

(3^x) ^2 + 2^x * 3^x - (2^2) ^x * 2 = 0;

(3^x) ^2 + 2^x * 3^x - 2 * (2^x) ^2 = 0.

Поделим уравнение на (2^x) ^2:

((3/2) ^x) ^2 + (3/2) ^x - 2 = 0.

Введем новую переменную, пусть (3/2) ^x = а.

Получается уравнение а^2 + а - 2 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = - 1; х₁ * х₂ = - 2.

Корни равны 1 и (-2). а = 1 и а = - 2.

Вернемся к замене (3/2) ^x = а.

1) а = - 2; (3/2) ^x = - 2 (не может быть).

2) а = 1; (3/2) ^x = 1; (3/2) ^x = (3/2) ^0 (любое число в нулевой степени равно единице).

Отсюда х = 0.

Ответ: корень уравнения равен 0.