Решить уравнение 2^x^2*5^x^2<10^-3 (10^3-x) ^2

2^x² * 5^x² < 10 ^(-3) (10 ^{(3 - x)} ) ².

По свойству степени представим левую часть как степень с основанием 10:

(2 * 5) ^x² < 10 ^(-3) (10 ^{(3 - x)} ) ².

10^x² < 10 ^(-3) (10 ^{(3 - x)} ) ².

Упростим правую часть неравенства:

(10 ^{(3 - x)} ) ² = 10 ^{(2 * (3 - x))} .

10 ^(-3) * 10 ^{(2 * (3 - x))} = 10 ^{(-3 + 2 * (3 - x))} = 10 ^{(2 (3 - x) - 3)} .

Получилось неравенство:

10^x² < 10 ^{(2 (3 - x) - 3)} .

Так как основания степени равны и больше единицы, откидываем их:

х² < 2 (3 - х) - 3.

Решаем получившееся неравенство.

х² < 6 - 2 х - 3.

х² < 3 - 2 х.

х² + 2 х - 3 < 0.

у = х² + 2 х - 3, это парабола, ветви смотрят вверх. Решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже оси х. Находим точки пересечения параболы с осью х:

у = 0; х² + 2 х - 3 = 0.

D = 4 + 12 = 16 (√D = 4);

х₁ = (-2 - 4) / 2 = - 3 и х₂ = (-2 + 4) / 2 = 1.

Ответ: х принадлежит промежутку (-3; 1).