Докажите, что значение выражения: 341³ + 109³ делится нацело на 90

Для доказательства деления на 90 для такого выражения целесообразно не искать в обоих слагаемых общие множители, их не видно сразу, а лучше преобразовать данное выражение, как сумму кубов. Тогда получим:

341³ + 109³ = (109 + 341) * ( - 109 * 341 + ... + ...) = 450 * ( - 109 * 341 + ... + ...) = 450 * ( - 109 * 341 + ... + ...).

Вторую скобку считать не нужно. Данное выражение имеет одним из множителей число 450, которое кратно числу 90, значит, и всё заданное выражение делится на число 90. Что и требовалось доказать.