Решить уравнение√ (2 х+5) - √ (х+6) = 1

Прежде всего, заметим, что данное уравнение √ (2 * х + 5) - √ (х + 6) = 1 имеет смысл, если 2 * х + 5 ≥ 0 и х + 6 ≥ 0, то есть, при х ∈ [-2,5; + ∞). Перепишем данное уравнение в виде √ (2 * х + 5) = 1 + √ (х + 6). Используя свойства арифметического квадратного корня и формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), возводим в квадрат обе части полученного уравнения. Следует заметить, что, поскольку √ (2 * х + 5) ≥ 0 и 1 + √ (х + 6) ≥ 1, то возводя в квадрат обе части уравнения у нас не появятся побочные решения данного уравнения. Имеем: (√ (2 * х + 5)) ² = (1 + √ (х + 6)) ² или 2 * х + 5 = 1 + 2√ (х + 6) + х + 6, откуда х - 2 = 2√ (х + 6). Используя свойства арифметического квадратного корня и формулу сокращенного умножения (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности), ещё раз возводим в квадрат обе части полученного уравнения. На этот раз могут появляться побочные решения, так как значением левой части уравнения может быть любое действительное, в то время как, 2√ (х + 6) ≥ 0. Итак, (х - 2) ² = (2√ (х + 6)) ² или х² - 2 * х * 2 + 2² = 2² * (√ (х + 6)) ², откуда х² - 4 * х + 4 = 4 * (х + 6). Преобразуем последнее уравнение и перепишем его в виде: х² - 8 * х - 20 = 0. Это уравнение является квадратным уравнением. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: D = (-8) ² - 4 * 1 * (-20) = 64 + 80 = 144. Поскольку дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (8 - √ (144)) / (2 * 1) = (8 - 12) / 2 = - 4/2 = - 2 и x₂ = (8 + √ (144)) / (2 * 1) = (8 + 12) / 2 = 20/2 = 10. Проверка показывает, что - 2 ∉ [-2,5; + ∞). Значит корень х = - 2 является побочным корнем. Второй корень х = 10 ∈ [-2,5; + ∞). Следовательно, данное уравнение имеет одно решение: х = 10.

Ответ: х = 10.