Найти наибольшее такое z, что существуют x и y, такие что 4x^2 + 4y^2 + z^2 + xy + yz + xz = 8. Если ответ является дробным числом, то его необходимо записать с помощью десятичной дроби через точку, например, "0.15".

Нужно найти наибольшее значение z, при котором уравнение

4x^2 + 4y^2 + z^2 + xy + yz + xz = 8

имеет решение относительно x и y.

Решим уравнение относительно y

4x^2 + 4y^2 + z^2 + xy + yz + xz = 8; (1)

4y^2 + (x+z) y + 4x^2 + z^2 + xz - 8 = 0; (2)

Найдем дискриминант D1:

D1 = (x+z) ^2 - 4*4 * (4x^2 + z^2 + xz - 8);

D1 = x^2 + 2xz + z^2 - 64x^2 - 16z^2 - 16xz + 128;

D1 = - 63x^2 - 15z^2 - 14xz + 128; (3)

Уравнение (2) имеет решение при неотрицательных значениях дискриминанта D1:

D1 > = 0;

-63x^2 - 15z^2 - 14xz + 128 > = 0.

Умножим обе стороны неравенства на - 1:

63x^2 + 14zx + 15z^2 - 128 < = 0. (4)

Решим неравенство относительно x

D2 = (14z) ^2 - 4*63 * (15z^2 - 128);

D2 = 28 * (7z^2 - 9 * (15z^2 - 128));

D2 = 28 * (7z^2 - 135z^2 + 9*128);

D2 = 28 * (-128Z^2 - 9*128);

D2 = 28*128 * (9 - z^2);

Так как коэффициент при x^2 положительное число, то неравенство (4) имеет решение в том случае, когда соответствующее уравнение имеет решение, т. е., при неотрицательных значениях D2:

D2 > = 0;

28*128 * (9 - z^2) > = 0; 9 - z^2 > = 0; z^2 < = 9;

z E [-3; 3].

Таким образом, если z принадлежит промежутку [-3; 3], то D2 > = 0, поэтому уравнение (4) будет иметь решение, т. е. найдется такое значение x, при котором D1 > = 0. А из этого, в свою очередь, следует, что уравнение (2) имеет решение относительно y. В результате получаем, что при данных значения z уравнение (2) будет иметь решение относительно x и y.

А наибольшим значением для промежутка [-3; 3], очевидно, является число 3.

Ответ: 3.

1. Умножим уравнение на 4 и выделим квадраты многочленов:

4x^2 + 4y^2 + z^2 + xy + yz + xz = 8; 16x^2 + 16y^2 + 4z^2 + 4xy + 4yz + 4xz = 32; (3x + 3y + 2z/3) ^2 + 7 (x - y) ^2 - 4z^2/9 + 36z^2/9 = 32; (3x + 3y + 2z/3) ^2 + 7 (x - y) ^2 + 32z^2/9 = 32; (3x + 3y + 2z/3) ^2 + 7 (x - y) ^2 = 32 (1 - z^2/9); (3x + 3y + 2z/3) ^2 + 7 (x - y) ^2 = 32/9 * (9 - z^2).

2. При z = 3 получим уравнение, имеющее одно решение:

(3x + 3y + 2) ^2 + 7 (x - y) ^2 = 0;

{3x + 3y + 2 = 0;

{x - y = 0; {3x + 3x + 2 = 0;

{y = x; {6x = - 2;

{y = x; {x = - 1/3;

{y = - 1/3.

3. При z > 3 в правой части получим отрицательное число, но сумма квадратов неотрицательна, поэтому уравнение не имеет решение.

Ответ: 3.