1) (x-4) ^2 (x+6) ^2 5) x^2>16; 9

1) (x - 4) ^2 ≤ (2 х - 6) ^2.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности.

х^2 - 8 х + 16 ≤ 4 х^2 - 24 х + 36.

Перенесем все в левую часть:

х^2 - 8 х + 16 - 4 х^2 + 24 х - 36 ≤ 0.

Подведем подобные члены:

-3 х^2 + 16 х - 20 ≤ 0.

Умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

3 х^2 - 16 х + 20 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = 3 х^2 - 16 х + 20, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 3 х^2 - 16 х + 20 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 3; b = - 16; c = 20;

D = b^2 - 4ac; D = (-16) ^2 - 4 * 3 * 20 = 256 - 240 = 16 (√D = 4);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (16 - 4) / (2 * 3) = 12/6 = 2.

х₂ = (16 + 4) / 6 = 20/6 = 3 2/6 = 3 1/3.

Отмечаем на числовой прямой точки 2 и 3 1/3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≥ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; 2] и [3 1/3; + ∞).

Далее работаем по образцу.

2) (7 - x) ^2 ≤ (3 - x) ^2.

49 - 14 х + x^2 ≤ 9 - 6 х + x^2;

-14 х + x^2 + 6 х - x^2 ≤ 9 - 49;

-8 х ≤ - 40;

8 х ≥ 40;

х ≥ 40/5;

х ≥ 5.

Решением неравенства будет промежуток [5; + ∞).

3) (2x + 1) ^2 ≤ (x + 4) ^2.

4 х^2 + 4x + 1 ≤ x^2 + 8x + 16;

4 х^2 + 4x + 1 - x^2 - 8x - 16 ≤ 0;

3 х^2 - 4x - 15 ≤ 0;

Рассмотрим функцию у = 3 х^2 - 4x - 15, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 3 х^2 - 4x - 15 = 0.

D = 16 + 180 = 196 (√D = 14);

х₁ = (4 - 14) / (2 * 3) = - 10/6 = - 1 4/6 = - 1 2/3.

х₂ = (4 + 14) / 6 = 18/6 = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки - 1 2/3 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [-1 2/3; 3].

4) - 4x^2 + 5x + 60 > (x + 6) ^2.

-4x^2 + 5x + 60 > x^2 + 12 х + 36;

-4x^2 + 5x + 60 - x^2 - 12 х - 36 > 0;

-5x^2 - 7 х + 24 > 0;

5x^2 + 7 х - 24 < 0.

Рассмотрим функцию у = 5x^2 + 7 х - 24, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 5x^2 + 7 х - 24 = 0.

D = 49 + 480 = 529 (√D = 23);

х₁ = (-7 - 23) / (2 * 5) = - 30/10 = - 3.

х₂ = (-7 + 23) / 10 = 16/10 = 1,6.

Отмечаем на числовой прямой точки - 3 и 1,6, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-3; 1,6).

5) x^2 > 16 (а); 9 ≤ x^2 (б).

Решим неравенства сначала по отдельности:

а) x^2 > 16; x^2 - 16 > 0. Квадратичная парабола, ветви вверх.

x^2 - 16 = 0; (х - 4) (х + 4) = 0; х = - 4 и х = 4.

Отмечаем на числовой прямой точки - 4 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; - 4) и (4; + ∞).

б) 9 ≤ x^2; 9 - x^2 ≤ 0. Квадратичная парабола, ветви вниз.

9 - x^2 = 0; (3 - х) (3 + х) = 0; х = - 3 и х = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки - 3 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вниз). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится ниже прямой, то есть (-∞; - 3] и [3; + ∞).

Объединяем решения обоих неравенств на одной прямой. Решение системы: (-∞; - 4) и (4; + ∞).

6) (x + 1) ^2 + (x + 3) ^2 ≤ 2x.

x^2 + 2 х + 1 + x^2 + 6 х + 9 - 2 х ≤ 0;

2x^2 + 6 х + 10 ≤ 0;

делим уравнение на 2:

x^2 + 3 х + 5 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 + 3 х + 5, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 + 3 х + 5 = 0.

D = 9 - 20 = - 11 (корней нет). Нет точек пересечения с осью х, вся парабола находится над осью х (так как ветви вверх). Так как знак неравенства ≤, то решения неравенства нет.

7) - 25 < - 9x^2.

9x^2 - 25 < 0.

Рассмотрим функцию у = 9x^2 - 25, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 9x^2 - 25 = 0.

(3 х - 5) (3 х + 5) = 0; 3 х - 5 = 0 или 3 х + 5 = 0, х = - 5/3 и х = 5/3.

Отмечаем на числовой прямой точки - 5/3 и 5/3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-5/3; 5/3).