Найдите точку максимума функции y=x в кубе + 2x в квадрате + х + 3

Рассмотрим функцию y = y (x) = x³ + 2 * x² + x + 3. Очевидно, что данная функция определена для всех x ∈ (-∞; + ∞). Требуется найти точку максимума данной функции. Воспользуемся дифференциальным исчислением. Вначале вычислим производную данной функции. Имеем: y' (x) = (x³ + 2 * x² + x + 3) ' = (x³) ' + (2 * x²) ' + x' + 3' = 3 * x² + 2 * 2 * x + 1 + 0 = 3 * x² + 4 * x + 1. Приравнивая к нулю производную, определим стационарные точки. Для этого решим уравнение 3 * x² + 4 * x + 1 = 0. Найдем дискриминант составленного квадратного уравнения: D = 4² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4. Поскольку дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их: x₁ = (-4 - √ (4)) / (2 * 3) = (-4 - 2) / 6 = - 6 / 6 = - 1 и x₂ = (-4 + √ (4)) / (2 * 3) = (-4 + 2) / 6 = - 2 / 6 = - 1/3. Итак, нашли две стационарные точки: x₁ = - 1 и x₂ = - 1/3. Рассмотрим значение (точнее, знак значения) произведения y' (x) = 3 * x² + 4 * x + 1 в произвольных точках следующих множеств: (-∞; - 1), (-1; - 1/3) и (-1/3; + ∞). Очевидно, что y' (x) > 0 при x ∈ (-∞; - 1), y' (x) 0 при x ∈ (-1/3; + ∞). Следовательно, данная функция имеет локальный максимум в точке х₁ = - 1, а в точке х₂ = - 1/3 - локальный минимум.

Ответ: Точкой локального максимума данной функции является точка х = - 1.