Решить уравнение: (x-1) (x^2+8x+16) = 6 (x+4)

Если решать данное уравнение стандартным способом, раскрывая скобки, то видно, что получится уравнение третьей степени. Попробуем решить уравнение другим способом.

Разложим квадратный трехчлен x² + 8x + 16 на множители

Для этого используем формулу ax² + bx + c = а (x - x₁) (x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

Находим корни трехчлена x² + 8x + 16 с помощью дискриминанта:

x² + 8x + 16 = 0. a = 1; b = 8; c = 16; D = b² - 4ac; D = 8² - 4 * 1 * 16 = 64 - 64 = 0 (один корень). x = (-b) / 2a; х = (-8) / 2 = - 4.

Следовательно, x² + 8x + 16 = (х + 4) ².

Значит, уравнение (x - 1) (x² + 8x + 16) = 6 (x + 4) принимает вид (x - 1) (х + 4) ² = 6 (x + 4).

Перенесем все в левую часть уравнения.

(x - 1) (х + 4) ² - 6 (x + 4) = 0.

Вынесем общий множитель (х + 4) за скобку:

(x + 4) ((x - 1) (х + 4) - 6) = 0.

Решаем получившееся уравнение

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Отсюда х + 4 = 0; х = - 4.

Или (x - 1) (х + 4) - 6 = 0.

Раскроем скобки:

х² - х + 4 х - 4 - 6 = 0.

х² + 3 х - 10 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 3; c = - 10;

D = b² - 4ac; D = 3² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49 (√D = 7);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (-3 - 7) / 2 = - 10/2 = - 5.

х₂ = (-3 + 7) / 2 = 4/2 = 2.

Ответ: корни уравнения равны - 5, - 4 и 2.

Выполним проверку:

1) х = - 5.

(-5 - 1) ((-5) ² + 8 * (-5) + 16) = 6 (-5 + 4).

-6 * (25 - 40 + 16) = 6 * (-1).

-6 * 1 = 6 * (-1).

-6 = - 6 (верно).

2) х = - 4.

(-4 - 1) ((-4) ² + 8 * (-4) + 16) = 6 (-4 + 4).

-5 * (16 - 32 + 16) = 6 * 0.

-5 * 0 = 6 * 0.

0 = 0 (верно).

3) х = 2.

(2 - 1) (2² + 8 * 2 + 16) = 6 (2 + 4).

1 * (4 + 16 + 16) = 6 * 6.

36 = 36 (верно).

(x - 1) * (x ^ 2 + 8 * x + 16) = 6 * (x + 4);

(x - 1) * (x ^ 2 + 2 * x * 4 + 4 ^ 2) = 6 * (x + 4);

(x - 1) * (x + 4) ^ 2 = 6 * (x + 4);

(x - 1) * (x + 4) ^ 2 - 6 * (x + 4) = 0;

(x + 4) * ((x - 1) * (x + 4) - 6) = 0;

1) x + 4 = 0;

x = - 4;

2) (x - 1) * (x + 4) - 6 = 0;

Раскрываем скобки. Для этого каждые значения в первой скобке, умножаем на каждое значение во второй скобке, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:

x ^ 2 + 4 * x - x - 4 - 6 = 0;

x ^ 2 + 3 * x - 10 = 0;

x1 = - 5;

x2 = 2;

Ответ: х = - 4, х = - 5, х = 2.