Петя из всех цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 выбрал те цифры, которые являются простыми числами. Затем он составил всевозможные числа, в каждом из которых присутствовали все выбранные им цифры, причем каждая из них - ровно по одному разу. После этого, Вася из всех составленных Петей чисел, выбрал все такие, которые кратны 9 Сколько чисел выбрал Вася?

Для решения данной задачи нужно знать признак делимости числа на 9: число делится на 9, если сумма цифр числа делится на девять.

Из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 выберем простые числа. Простое число - это число, которое делится только на 1 и на самого себя.

Из этого ряда чисел простые числа только 2, 3, 5 и 7.

Составим все двузначные числа из данных цифр

Каждая цифра составит пару с тремя другими, цифры в числе не должны повторяться. Получатся числа: 23, 25, 27, 32, 35, 37, 52, 53, 57, 72, 73, 75. Всего 12 чисел.

Составим все трехзначные числа Из 2, 3 и 5 получится 6 чисел: 235, 253, 352, 325, 532, 523; из 2, 3 и 7 получится тоже 6 чисел: 237, 273, 372, 327, 732, 723; из 2, 5 и 7 получится 6 чисел: 257, 275, 527, 572, 752, 725; 3, 5 и 7 тоже 6 чисел: 357, 375, 573, 537, 753, 735. Составим все четырехзначные числа

Посчитаем количество получившихся четырехзначных чисел по формуле решения комбинаторных задач: А^k_n = n! / (n - k) !

k = 4, n = 4 (четырехзначное число из 4 цифр).

А = 4! / (4 - 4) ! = 4!/0!

0! = 1;

4! = 4 * 3 * 2 = 24;

24/1 = 24.

Значит, из чисел 2, 3, 5 и 7 можно составить 24 четырехзначных числа.

Всего получилось 12 + 6 + 6 + 6 + 6 + 24 = 60 чисел.

Выберем из них все, которые делятся на 9:

Из двухзначных чисел подходят 27 и 72.

Из трехзначных (2 + 3 + 5 = 10, 2 + 3 + 7 = 12, 2 + 5 + 7 = 14, 3 + 5 + 7 = 15, ни одно число не делится на 9) нет чисел, которые делятся на 9.

Четырехзначное число из цифр 2, 3, 5 и 7 не будет делиться на девять, потому что 2 + 3 + 5 + 7 = 17 (не делится на 9), любая комбинация из этих цифр не будет делиться на 9.

Ответ: числа 27 и 72.

1. Простыми числами в данном ряду являются 2, 3, 5, 7;

2. Петя составил множество чисел из этих цифр, причем каждая встречалась один раз;

3. Сложим эти цифры 2 + 3 + 5 + 7 = 17;

4. Признак делимости числа на 9 таков, что сумма цифр числа должна делиться на 9;

5. 17 на 9 не делится, значит среди чисел, составленных Петей не было ни одного, кратного 9.

Ответ: Вася не выбрал ни одного числа.