X^2+6X+11 + (18 / (X^2+6X)) = 0

х^2 + 6 х + 11 + (18 / (х^2 + 6 х)) = 0;

введём новую переменную х^2 + 6 х = у;

(у + 11) + 18/у = 0 - приведём дроби к общему знаменателю у; дополнительный множитель для первой дроби равен у;

(у (у + 11) + 18) / у = 0 - дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля;

у ≠ 0;

у (у + 11) + 18 = 0;

у^2 + 11 у + 18 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 11^2 - 4 * 1 * 18 = 121 - 72 = 49; √D = 7;

x = (-b ± √D) / (2a);

y1 = (-11 + 7) / 2 = - 4/2 = - 2;

y2 = (-11 - 7) / 2 = - 18/2 = - 9.

Выполним обратную подстановку:

1) х^2 + 6 х = - 2;

х^2 + 6 х + 2 = 0;

D = 6^2 - 4 * 1 * 2 = 36 - 8 = 28; √D = √28 = 2√7;

x1 = (-6 + 2√7) / 2 = - 3 + √7;

x2 = - 3 - √7;

2) x^2 + 6x = - 9;

x^2 + 6x + 9 = 0;

D = 6^2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0;

x = - 6/2 = - 3.

Ответ. - 3 + √7; - 3 - √7; - 3.