Решите неравенства (60 б) a) - x^2-10≤7x b) - x^2+8x≥16 c) (4x-1) (x^2-4) <0 D) (2x+5) (4x+3) (7-2x) (x-3) <0 e) ((x+1) (x+2) (x+3) / (2x-1) (x+4) (x-3)) ≤0

a) - x^2 - 10 ≤ 7x.

Переносим 7 х в левую часть: - x^2 - 7x - 10 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = - x^2 - 7x - 10, это квадратичная парабола, ветви вниз.

Найдем нули функции: у = 0; - x^2 - 7x - 10 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = - 1; b = - 7; c = - 10;

D = b^2 - 4ac; D = (-7) ^2 - 4 * (-1) * (-10) = 49 - 40 = 9 (√D = 3);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (7 - 3) / (-2) = 4 / (-2) = - 2;

х₂ = (7 + 3) / (-2) = 10 / (-2) = - 5.

Отмечаем на числовой прямой точки - 5 и - 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вниз). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится ниже прямой, то есть (-∞; - 5] и [-2; + ∞).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; - 5] и [-2; + ∞).

b) - x^2 + 8x ≥ 16.

-x^2 + 8x - 16 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = - x^2 + 8x - 16, это квадратичная парабола, ветви вниз.

Найдем нули функции: у = 0; - x^2 + 8x - 16 = 0.

D = 64 - 64 = 0 (1 корень).

х = (-8) / (-2) = 4.

Парабола касается оси х в точке 4, вся парабола находится ниже оси х (ветви вниз). Знак неравенства ≥ 0, значит, решение неравенства х = 4.

c) (4x - 1) (x^2 - 4) < 0.

Разложим вторую скобку по формуле разности квадратов:

(4x - 1) (x - 2) (х + 2) < 0.

Найдем корни неравенства:

4x - 1 = 0; х = 1/4.

х - 2 = 0; х = 2.

х + 2 = 0; х = - 2.

Отмечаем на прямой точки, обозначаем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная с крайнего правого (+) : (-) - 2 (+) 1/4 (-) 2 (+).

Так как знак неравенства < 0, то решение неравенства: (-∞; - 2) и (1/4; 2).

D) (2x + 5) (4x + 3) (7 - 2x) (x - 3) < 0.

В третьей скобке х отрицательный. (7 - 2 х) = - (2 х - 7).

Умножаем неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

(2x + 5) (4x + 3) (2x - 7) (x - 3) > 0.

Находим корни:

2 х + 5 = 0; х = - 2,5.

4 х + 3 = 0; х = - 3/4.

2 х - 7 = 0; х = 3,5.

х - 3 = 0; х = 3.

Отмечаем на прямой знаки промежутков: (+) - 2,5 (-) - 3/4 (+) 3 (-) 3,5 (+).

Знак неравенства > 0, поэтому решение неравенства (-∞; - 2,4), (-3/4; 3) и (3,5; + ∞).

е) (x + 1) (x + 2) (x + 3) / (2x - 1) (x + 4) (x - 3) ≤ 0.

Находим корни неравенства:

х + 1 = 0; х = - 1.

х + 2 = 0; х = - 2.

х + 3 = 0; х = - 3.

2 х - 1 = 0; х = 1/2.

х + 4 = 0; х = - 4.

х - 3 = 0; х = 3.

Отмечаем знаки промежутков: (+) - 4 (-) - 3 (+) - 2 (-) - 1 (+) 1/2 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства ≤ 0, то решением будут промежутки [-4; - 3], [-2; - 1] и [1/2; 3].