решить уравнение в целых числах 3*x^2+4*xy-7*y^2=13

1. Разложим на множители квадратный трехчлен:

3x^2 + 4xy - 7y^2 = 13; f (x, y) = 3x^2 + 4yx - 7y^2; D/4 = (2y) ^2 + 3 * 7y^2 = 4y^2 + 21y^2 = 25y^2; x = (-2y ± √ (25y^2)) / 3 = (-2y ± 5y) / 3; x1 = (-2y - 5y) / 3 = - 7y/3; x2 = (-2y + 5y) / 3 = 3y/3 = y; f (x, y) = 3x^2 + 4yx - 7y^2 = 3 (x + 7y/3) (x - y) = (3x + 7y) (x - y).

2. Получим уравнение:

(3x + 7y) (x - y) = 13. (1)

Целые решения возможны в следующих случаях:

1)

{3x + 7y = 1;

{x - y = 13; {3y + 39 + 7y = 1;

{x = y + 13; {10y = - 38;

{x = y + 13.

Нет целых решений.

2)

{3x + 7y = - 1;

{x - y = - 13; {3y - 39 + 7y = - 1;

{x = y - 13; {10y = 38;

{x = y - 13.

Нет целых решений.

3)

{3x + 7y = 13;

{x - y = 1; {3y + 3 + 7y = 13;

{x = y + 1; {10y = 10;

{x = y + 1; {y = 1;

{x = 2.

4)

{3x + 7y = - 13;

{x - y = - 1; {3y - 3 + 7y = - 13;

{x = y - 1; {10y = - 10;

{x = y - 1; {y = - 1;

{x = - 2.

Ответ: (2; 1); (-2; - 1).