Какой цифрой оканчивается сумма 135^{x}+31^{y}+56^{x}^+^{y}, если x и y натуральные числа

1. Составим сравнения по модулю 10:

1)

135¹ ≡ 5 (mod 10); 135² ≡ 25 ≡ 5 (mod 10); 135^x ≡ 5 (mod 10). (1)

2)

31¹ ≡ 1 (mod 10); 31² ≡ 1 (mod 10); 31^y ≡ 1 (mod 10). (2)

3)

56¹ ≡ 6 (mod 10); 56² ≡ 36 ≡ 6 (mod 10); 56^ (x + y) ≡ 6 (mod 10). (3)

2. Сложим почленно сравнения (1), (2) и (3):

135^x + 31^y + 56^ (x + y) ≡ 5 + 1 + 6 (mod 10); 135^x + 31^y + 56^ (x + y) ≡ 12 ≡ 2 (mod 10).

Из полученного сравнения следует, что сумма степеней при делении на 10 дает в остатке 2, т. е оканчивается этой цифрой.

Ответ: цифрой 2.