4*2^2 х - 6^х = 18*3^2 х

4 * 2^{2 х} - 6^х = 18 * 3^{2 х}.

Перенесем все в левую часть, представим число 6 как произведение 2 и 3:

4 * 2^{2 х} - (2 * 3) ^х - 18 * 3^{2 х} = 0.

4 * 2^{2 х} - 2^х * 3^х - 18 * 3^{2 х} = 0.

Поделим уравнение на 3^{2 х}:

4 * 2^{2 х}/3^{2 х} - 2^х * 3^х/3^{2 х} - 18 * 3^{2 х}/3^{2 х} = 0.

4 * (2/3) ^{2 х} - (2/3) ^х - 18 = 0.

Произведем замену, пусть (2/3) ^х = а:

4 а² - а - 18 = 0.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = 1 + 288 = 289 (√D = 17);

а₁ = (1 - 17) / (2 * 4) = - 16/8 = - 2.

а₂ = (1 + 17) / 8 = 18/8 = 9/4.

Возвращаемся к замене (2/3) ^х = а:

а = - 2; (2/3) ^х = - 2 (не может быть, нет корней).

а = 9/4; (2/3) ^х = 9/4; (2/3) ^х = (3/2) ²; (2/3) ^х = (2/3) ^-2; х = - 2.

Ответ: корень уравнения равен - 2.