Приведите пример трехзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей. Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей? Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей?

1. Количество натуральных делителей числа N, представленного в виде произведения степеней простых множителей:

n = p1^l1 * p2^l2 * ... * pk^lk,

равно:

N = (l1 + 1) (l2 + 1) * ... * (lk + 1).

2. Находим трехзначные числа с заданным количеством простых делителей:

a) N = 5.

l1 = 4; n = p1^4.

Единственное трехзначное число:

n = 5^4 = 625;

Делители:

1; 5; 25; 125; 625.

b) N = 15.

Варианты:

1) l1 = 14;

n = p1^14 - нет таких трехзначных чисел.

2) 15 = 3 * 5 = (2 + 1) (4 + 1);

l1 = 2; l2 = 4; n = p1^2 * p2^4.

Примеры:

n1 = 2^2 * 3^4 = 4 * 81 = 324; n2 = 3^2 * 2^4 = 9 * 16 = 144.

Два делителя.

c) N = 20.

Варианты:

1) l1 = 19;

n = p1^19 - слишком большие числа.

2) 20 = 2 * 10;

l1 = 1; l2 = 9; n = p1 * p2^9 > 2^10 - нет трехзначных чисел.

3) 20 = 4 * 5;

l1 = 3; l2 = 4; n = p1^3 * p2^4.

Примеры:

n1 = 2^3 * 3^4 = 8 * 81 = 648; n2 = 3^3 * 2^4 = 27 * 16 = 432.

4) 20 = 2 * 2 * 5;

l1 = 1; l2 = 1; l3 = 1; n = p1 * p2 * p3^5.

Примеры:

n1 = 3 * 5 * 2^5 = 480; n2 = 3 * 7 * 2^5 = 672.

Всего 4 делителя.