Обчислити 1^2-2^2+3^2-4^2 + ... + 99^2-100^2+101^2

В задании требуется вычислить значение выражения 1² - 2² + 3² - 4² + ... + 99² - 100² + 101², которого обозначим через А. Перепишем данное выражение в виде А = (101² - 100²) + (99² - 98²) + ... + (5² - 4²) + (3² - 2²) + 1². Нетрудно показать, что при такой записи, выражение А является суммой 51 слагаемых, 50 из которых заключены в скобки. К каждому выражению в скобках применим формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов) и учтём, что 1² = 1. Тогда, имеем: А = (101 - 100) * (101 + 100) + (99 - 98) * (99 + 98) + ... + (5 - 4) * (5 + 4) + (3 - 2) * (3 + 2) + 1 = 1 * 201 + 1 * 197 + ... + 1 * 9 + 1 * 5 + 1 = 1 + 5 + 9 + ... + 197 + 201. Последняя сумма представляет собой сумму первых 51 членов арифметической прогрессии {a_n}, n = 1, 2, ..., с первым членом a₁ = 1 и шагом d = 5 - 1 = 9 - 5 = ... = 201 - 197 = 4. Применяя формулу вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии S_n = (2 * a₁ + d * (n - 1)) * n / 2, получим: S₅₁ = (2 * 1 + 4 * (51 - 1)) * 51 / 2 = (2 + 200) * 51 / 2 = 202 * 51 / 2 = 101 * 51 = 5151.

Ответ: 5151.