Каковы функции депутата

Зависит от того, какого уровня депутат. Так:

Депутаты центрального парламента вносят законопроекты в Государственную думу, участвуют в заседаниях Совета Федерации, Государственной думы, парламентских слушаниях, работают с избирателями, правительством России и некоторыми должностными лицами.

Депутат в региональных парламентах решают законодательные вопросы на уровне своего административного субъекта. Их полномочия определяются уставом субъекта.