Найти корень барабанщик

Слово "барабанщик" образовано от существительного "барабан".

Соответственно, в слове "барабанщик" корень "барабан", а суффикс "щик".

Суффиксы "чик" и "щик" часто указывают на род занятий.

Приведем в качестве примера аналогичное слово "фасовщик. Образовано от слова "фасовка". Значит в слове "фасовщик" корень "фасов", а "щик" также будет суффиксом.