В слове горнист есть чередующийся корень?

Нет. Корень - гор - является чередующимся и может переходить в - гар-, если на этот корень падает ударение, однако в заданном слове просто-напросто нет корня - гор-. Горнист - это тот, кто играет на горне (музыкальном инструменте, чье название пришло в наш язык из немецкого и никакого отношения к горению или гари не имеет, отсылая, меж тем, к немецкому слову, обозначающему рог, рожок). Соответственно, корень слова "горнист" - это - горн-, а такой корень в перечне чередующихся не значится.