Слитно пишутся выделенные слова в предложениях: (c объяснением) 1) Спор принял опасный оборот, и Васька решил идти (на) попятную. 2) Лишь (по) прошествии трёх недель мы получили от него весточку. 3) Действуя (на) удачу, мы сильно рисковали. 4) Я помиловал тебя (за) то, что ты оказал мне услугу. 5) (В) след за мной придут другие.

1) Спор принял опасный оборот, и Васька решил идти на попятную (наречие - исключение, пишется раздельно). 2) Лишь по прошествии (предлог, пишется раздельно) трёх недель мы получили от него весточку. 3) Действуя наудачу (как? наречие, пишется слитно), мы сильно рисковали. 4) Я помиловал тебя за то (за что? за - предлог), что ты оказал мне услугу. 5) Вслед (наречие, пишется слитно) за мной придут другие.