К какому разряду местоимений относятся слова мне, мною?

Оба слова относятся к разряду личных местоимений первого лица единственного числа.

В именительном падеже это местоимение "я".

"Мне" - дательный падеж (кому? К кому?). Употребляется с предлогом или без.

"Мною" - творительный падеж (кем? С кем? Под кем?). Может идти с предлогом и без, например, со мною.