Мягонький или мягенький

Если разобрать оба варианта слова по составу, получим корень "мяг", суффикс "оньк" либо "еньк" и окончание "ий". Для написания таких суффиксов действует такое правило: если окончанием основы являются буквы "г", "к", и "х", то следует писать "о", после остальных согласных - "е". Примеры: легонький, высоконький, махонький, сладенький, маленький, горяченький.

В данном случае основа заканчивается на "г". Значит, писать надо "мягонький".

И хотя в орфографических словарях можно встретить оба варианта написания, но вариант с суффиксом "еньк" является малоупотребительным.