На какой вопрос отвечает слово всю в словосочетании всю посуду помоешь?

Разберем предложение по членам, укажем часть речи каждого члена:

Подлежащего в предложении нет.

(Что сделаешь?) помоешь - сказуемое (глагол).

Помоешь (Что?) посуду - дополнение (имя существительное).

Посуду (Какую?) всю - определение (местоимение).

В данном предложении местоимение "всю" выполняет роль второстепенного члена предложения - определения.

Определение отвечает на вопрос Какой?, Чей? и аналогичные и описывает признак предмета.