Котёнок нарицательное или собственное

Котенок - нарицательное имя существительное.

Оно просто указывает на вид животного (котенок, а не ягненок или мышонок).

В нем нет конкретики, это один котенок из миллиона подобных.

Нарицательные существительные могут быть как одушевленными, так и неодушевленными. Котенок - одушевленное существительное.

Если бы было слово "Рыжик", написанное с заглавной буквы, оно было бы именем собственным, т. к. используется для обозначения одного-единственного в своем роде котенка.

Нужно запомнить, что все клички надо писать с заглавной буквы.