На какой вопрос отвечает слово по одному? И какая это часть речи?

Зависит от контекста и написания, например:

Они выходили в туалет с урока по одному. Вопрос: выходили как? По одному. Часть речи - наречие, образованное от количественного числительного " один". Не подчиняется общему правилу и всегда пишется раздельно, а не через дефис.

По одному учебнику трудно заниматься всем классом.

По одному подарку получили все ученики класса, участвовавшие в конкурсе.

Здесь вопрос: какому? По одному. Часть речи числительное (количественное).