Как объяснить правописание приставки не в слове неуспешный

Частица "не" может употребляться с прилагательными как слитно, так и раздельно.

Слитно мы пишем в тех случаях, если:

1. Слово не употребляется без не, например: нелепый, небрежный;

2. Если слово с приставкой - не мы можем заменить словом без этой приставки, например: несладкий - соленый, негромкий - тихий.

Так как к слову "неуспешный" мы можем подобрать синоним "провальный", то пишем слитно.