Я немного подзабыла: в деепричастном обороте существительное (Кот, спрыгнув с дивана) выделяется запятыми? Иногда попадаются предложения, когда не могу решить, выделять - ли существительное в деепричастном обороте запятой, или нет. И вообще, оно входит в деепричастный оборот?

Итак, поясню.

Кот, спрыгнув с дивана, ... (окончание предложения).

Деепричастия и деепричастный оборот всегда обособляются запятыми. В данном случае деепричастный оборот: спрыгнув с дивана (его можно легко отбросить, структура предложения не исказится, потеряется лишь детали действия кота). Слово "кот" в деепричастный оборот не входит.