Спряжение глагола танцует

Спряжение глагола определяется по:

1) окончанию в личной форме, если оно ударное;

2) по суффиксу в начальной форме, если в личной форме окончание безударное.

Глагол "танцует" стоит в личной форме. Проверим, ударное или безударное у него окончание.

ТанцУет: окончание безударное.

Поставим глагол в начальную форму и определим спряжение.

Танцует (что делает?) : танцевать (что делать?) - оканчивается на - ать (суффикс - а-), относится к первому спряжению.

Танцует - первого спряжения.