Проходем или проходим

В глаголе "проходим" в 1 лице, множественном числе пишется окончание "им", потому что данный глагол относится ко 2 спряжению (определяется по инфинитиву "проходить", потому что личное окончание является безударным).

Примеры предложений:

1. Мы медленно проходим по коридору, чтобы не создавать никакого шума.

2. Эту игру мы проходим довольно быстро, потому что раньше много раз в нее играли.

3. Все вместе мы проходим в помещение, где нас уже ждут.

Доброго времени суток, правильное написание этого слова "проходим". Мне кажется, что тут действует правило "как слышится, так и пишется". Согласитесь, что "проходЕм через лес" совершенно не к месту, а вот "проходИм через лес" уже что-то!