Кое-где какая часть речи?

Для правильного определения части речи слова, необходимо задать вопрос к слову.

"Кое-где" отвечает на вопросы "где?" или "как?", следовательно, можно сказать, что "кое-где" является наречием.

Наречие - самостоятельная часть речи, отвечающая на вопросы: "как?", "где?", "когда?", "почему?", зачем?". В предложении может входить в состав составного глагольного сказуемого или же являться обстоятельством.

"Кое-где" (неопределенное наречие) образовано с помощью приставки "кое" от наречия "где" вопросительного или относительного разряда.