Что общего у слов но, да, тут, топот? И на какие две группы можно их разделить?

Первые два слова схожи тем, что оба они - союзы.

Первый союз является противительным, при помощи него мы можем обозначить какое-нибудь противопоставление, например:

Сегодня светит солнце, но завтра пойдёт дождь.

Да - это тоже союз, однако он можно быть как сочинительным, так и противительным.

В значении сочинительного союза:

Я да он (то есть я и он).

В значении противительного:

Он мал, да уже умён.

Третье и четвёртое слова используются в скороговорках:

Говорит тут попугай: "Пусть ты галок, поп, пугай".

От топота копыт пыль по полю летит.