В русском языке в корне однокоренных слов под ударением и без ударения могут произноситься разные гласные звуки, но на письме они обозначаются одной и той же буквой?

Утверждение верное, в русском языке и правда есть такое явление, когда под ударением буква слышится по одному варианту, а без ударение - по другому. Это явление называется неполногласие.

Сравним: мОре [о], морскОй [ᴧ] (звук близкий к А); лЕс [э], леснОй [и^э] (И с призвуком Э). Подобная замена происходит в первом предударном слоге.

В остальных слогах происходит замена на редуцированный (краткий) звук: гОрод: 1 звук под ударением [о], 2 звук после ударного слога [ъ] (произносится кратко) [го'ръд]; вЕтер: 1 звук под ударением [э], 2 звук после ударного слога [ь] (произносится кратко) [в'э'т'ьр]. Однако этот пункт обычно в школах не рассматривается, так что достаточно запомнить первый пункт с поправкой в условии: подобная замена происходит в безударном слоге.