Грамматическая основа этого предложения? Не будет и тайн, рассказанных верному другу детства Хохолку.

Грамматическая основа: подлежащее отсутствует, сказуемое (что делает?) не будет, выражено глаголом будущего времени. Это односоставное предложение с одним главным членом-сказуемым. Оно осложнено обособленным определением, выраженное причастным оборотом, которое полностью выполняет функцию определения.

Тайн является второстепенным членом, выполняет функцию дополнения, так как вопрос задаем от сказуемого.