Как пишется слова прогоним или прогонем?

Правильно написать прогонИм, так как проверочным словом является гнать, которое в свою очередь является словом-исключением и относится ко второму спряжению. Из этого следует, что в слове прогоним должна быть буква "и", а не "е". Только так будет правильно.