Какой частью речи является слово холодно (в контексте) К ночи становится холодно.

Разберем предложение по членам, определим часть речи каждого члена:

Подлежащего в предложении нет.

(Что делает?) становится - сказуемое (глагол).

Становится (Когда?) к ночи - обстоятельство (имя существительное).

Становится (Как?) холодно - обстоятельство (наречие).

В данном контексте слово "холодно" выполняет роль второстепенного члена предложения (обстоятельства) и является наречием.