Каким членом предложения будет слово "чьё": Будет работать тот, чьё имя напишут в приказе.

Разберем предложение по членам:

(Кто?) тот - подлежащее (местоимение).

Тот (Что будет делать?) будет работать - составное глагольное сказуемое (глаголы).

Подлежащего во второй части предложения нет.

(Что сделают?) напишут - сказуемое (глагол).

Напишут (Где?) в приказе - обстоятельство (имя существительное).

Напишут (Что?) имя - дополнение (имя существительное).

Имя (Какое?) чье - определение (местоимение).

В данном предложении местоимение "чье" выполняет роль второстепенного члена предложения - определения.