По этому она не дала своему сыну хорошего образования, так как у нее нет его самого. Как пишется по этому, (через дефис или нет?)

В данном случае пишется слитно.

Поэтому - местоименное наречие или союзное слово.

Раздельно писалось бы в случае, если это предлог "по" и местоимение "этому".

Например: по этому своему решению она не дала своему сыну хорошего образования.

Местоимение "этому" согласовано в числе и падеже с существительным "решению".