Как правильно нужно говорить и писать" проехать на машине по двору или проехать на машине во дворе"?

Правильно: проехать на машине по двору.

"Проехать по двору" значит пересечь один двор или его часть - Проехать по нашему двору.

Приставка ПРО здесь имеет значение передвижения на какое-то расстояние, а предлог ПО обозначает направление этого движения (по территории двора).

"Проехать во дворе" значит совершить передвижение возможно и не в одном дворе (то же, что и проехать дворами, т. е. срезать путь) - Проехать во дворе домов по ул ...