Почему на дне пишется раздельно?

"На" - предлог; предлоги с существительными пишутся раздельно; поэтому "на дне" (предложный падеж) пишется раздельно.

Примеры существительных с предлогами:

1. В лесу (дательный падеж).

2. Около реки (родительный падеж).

3. На улице (предложный падеж).

4. С отдыха (родительный падеж).

5. Возле огорода (родительный падеж).

6. С подругой (творительный падеж).

7. С головой (творительный падеж).

8. От школы (родительный падеж).

9. На учителя (винительный падеж).

10. Через реку (винительный падеж).

11. Без крика (родительный падеж).