Несмотря (или не смотря?) ни на что мой начальник требует, чтобы я выходил на работу и ему всё равно, что пару дней назад я лишился своей единственной.

Если "не смотря" используется в смысле "не смотреть глазами", то пишем раздельно. А если подразумевается смысл "не обращая внимания", но пишем слитно.

Я быстро прошел этот переулок, не смотря по сторонам. Я сделаю это, несмотря ни на что.

В данном в задании предложении имеется в виду второй смысл, поэтому пишем слитно.