Почему мы должны писать встречающИмся

Встречающимся - встреча (проверочное слово для безударной "е" в корне); "а" в суффиксе стоит в сильной позиции, проверки не требуется; окончание "им", потому что причастие отвечает на вопрос "каким?"; суффикс "ющ", потому что образовано от глагола 1 спряжения "встречаться".

Примеры на орфограммы:

1. Обещающий (суффикс "ющ", образовано от глагола 1 спряжения).

2. Седеть - сед (безударная "е" в корне).

3. Кусающимся (окончание "им").

4. Виляющим (окончание "им").