Какой падеж и склонение тропинке

Бежать по тропинке, существительное стоит в форме первого склонения, узнаем это, поставив его в начальную форму - тропинка. Теперь определим падеж: бежать (по чему) - вопрос дательного падежа. Известно, что окончание - е, которое пишется у данного слова, зависит от склонения и падежа, и кроме дательного оно будет употребляться ещё и в предложном падеже: думать (о чём?) о тропинке. В родительном же падеже у данного слова будет другое окончание - и, вскоре я уже не увидел (чего?) тропинки и пошёл наугад.