Что же побуждает писателя к его подчас мучительному, но прекрасному труду? Морфологический разбор частицы Же

Же - это частица, так как не отвечает на вопрос, не имеет лексического значения, а в предложении выполняет функцию - внесение дополнительного значения усиления.

Морфологические признаки - неизменяемость.

Синтаксическая роль - не является членом предложения, так как относится к служебным частям речи.