Какой частью речи является слово БЫЛО? вдруг важное происшествие чуть было не переменило их взаимные отношения

Разберем предложение по членам, определим часть речи каждого члена:

(Что?) происшествие - подлежащее (имя существительное).

Происшествие (Что сделало?) не переменило - сказуемое (глагол).

Происшествие (Какое?) важное - определение (имя прилагательное).

Не переменило (Как?) вдруг - обстоятельство (наречие).

Не переменило (Как?) чуть было - обстоятельство (наречие).

Не переменило (Что?) отношения - дополнение (имя существительное).

Отношения (Какие?) взаимные - определение (имя прилагательное).