Почему в словах: Понадобишься, расслабишься, прославишься, забросивший, рассердишься, задержишься, позабавишься, подгоним, слышимый, увидитесь, немыслимый, выпотрошим, задержишься, отправишься, независимый, раскрутишь, неслышимый общезначимый, замаячишь, выносливый, опасливый, неподатливый, пишется буква И?

Гласные в безударных личных окончаниях глаголов зависят от спряжения глагола.

В первом спряжении должна быть гласная Е, во втором - И.

Определить спряжение надо по начальной форме глагола (неопределенной) - что делать?

Все глаголы в неопределенной форме на - ИТЬ (плюс 11 слов исключений), относятся ко второму спряжению и следовательно все формы, образованные от этого глагола, будут сохранять эту гласную. Это также и с причастиями, образованными от этого глагола.

Например: понадобишься - глагол второго спряжения, так как его начальная форма - понадобиться. Значит здесь должна быть в окончании гласная И.

Понадобишься, расслабишься, прославишься, рассердишься, задержишься, позабавишься -

глаголы второго спряжения.

Забросивший - причастие, образованное от глагола второго спряжения забросИТЬ.

Подгоним - форма глагола гнать, который относится ко второму спряжению.

Слышимый - образовано от глагола второго спряжения слышать (исключение).

Увидитесь - образовано от глагола второго спряжения видеть (исключение)

Выпотрошим, задержишься, отправишься, раскрутишь, замаячишь - формы глаголов второго спряжения.

Немыслимый, независимый, неслышимый, общезначимый - прилагательные ссффиксом ИМ.

образованные от глаголов второго спряжения, с приставками.

Выносливый, опасливый, неподатливый - прилагательные, имеют суффикс - ЛИВ, который всегда пишется с гласной И.