Какая часть речи у УЖ в предложении Уж тает снег бегут ручьи

Разберем предложение по членам, определим часть речи каждого члена:

(Что?) снег - подлежащее (имя существительное).

Снег (Что делает?) тает - сказуемое (глагол).

Тает (Как?) уж - обстоятельство (наречие).

(Что?) ручьи - подлежащее (имя существительное).

Ручьи (Что делают?) бегут - сказуемое (глагол).

В данном предложении слово "уж" употреблено в значении "уже", это понятно по смыслу. Следовательно, оно является второстепенным членом предложения - обстоятельством.

В других контекстах слово "уж" чаще всего является частицей.